احتمال
اِحتِمال (probability)
شانس یا امکان وقوع یک پیشامد[۱] از میان چند پیشامد ممکن. مقدار آن را به صورت کسر اعشاری[۲] یا متعارفی[۳]ای بین ۰ و ۱ نشان می‌دهند. احتمالِ پیشامد حتمی ۱ است و احتمال پیشامد غیرممکن ۰. به‌طورکلی، احتمال این‌که n پیشامد مورد نظر از میان m پیشامد ممکن رخ دهد، (فرمول ۱) است.
فرمول ۱:
در بازی شیر یا خط، شانس آمدن «شیر» با شانس آمدن «خط» یکسان است، یعنی این احتمال یک‌به‌یک یا مساوی است و آن را به‌صورت ۲/۱ یا ۰.۵ نمایش می‌دهند. برآورد احتمال را می‌توان با آزمایش به دست آورد، مثلاً با انداختن سکه به دفعات بسیار زیاد و ثبت تعداد شیرها و تقسیم تعداد شیرها به کل تعداد دفعات آزمایش فراوانی نسبی[۴] «شیر» به دست می‌آید که برآورد احتمال آن است. وقتی تاس می‌ریزیم، احتمال آن‌که هریک از اعداد ۱ تا ۶ بیاید، با فرض بی‌عیب بودن تاس، ۶/۱ یا ۰.۱۶۶۶ است. اگر دو تاس بریزیم، ۳۶=۶×۶ ترکیب متفاوت ممکن است، واقع شود. احتمال «جفت آمدن» برابر ۳۶/۶ یا ۶/۱ است، زیرا شش جفت در میان این ۳۶ حالت وجود دارد: (۱,۱)، (۲,۲)، (۳,۳)، (۴,۴)، (۵,۵)، و (۶,۶). پیشامدهای مستقل[۵] پیشامدهایی‌اند که بر یکدیگر تأثیری ندارند، مثلاً هنگام ریختن دو تاس، ریختن تاس اول تأثیری بر نتیجۀ ریختن تاس دوم ندارد. پیشامدهای دوبه‌دو ناسازگار[۶] پیشامدهایی‌اند که رخ‌دادن یکی مانع از رخ‌دادن دیگری باشد، از آن جمله است آمدن شیر و آمدن خط در بازی شیر یا خط، زیرا ممکن نیست نتیجۀ انداختن سکه هم شیر و هم خط باشد. مجموع احتمال‌های پیشامدهای دوبه‌دو ناسازگار همواره برابر ۱ است. مثلاً اگر سه مهره به رنگ‌های متفاوت درون کیسه‌ای باشند و یکی را بدون نگاه‌کردن بیرون بکشیم، احتمال بیرون‌آمدن هریک ۳/۱ است و مجموع احتمال‌ها ۱= ۳/۱+۳/۱+۳/۱ برای یافتن احتمال دو یا چند پیشامد دوبه‌دو ناسازگار احتمال‌های آن‌ها را باهم جمع می‌کنیم. بنابراین، در مثال اخیر احتمال بیرون‌کشیدن یک مهرۀ آبی یا یک مهرۀ قرمز برابر است با ۳/۱+۳/۱=۳/۲. احتمال این‌که دو پیشامد مستقل رخ دهند، کمتر از احتمال آن است که یکی از آن‌ها رخ دهد. مثلاً احتمال آن‌که در یک‌بار ریختن تاس، ۳ بیاید برابر است با ۶/۱، ولی احتمال این‌که در دوبار پرتاب تاس یک جفت ۳ بیاید ۳۶/۱ است. احتمال شرطی[۷] وقتی مطرح می‌شود که نتیجۀ پیشامد اول بر نتیجۀ پیشامد دوم اثر داشته باشد. مثلاً اگر یک گوی از میان چهار گوی قرمز و پنج گوی آبی که در کیسه‌ای قرار دارند به تصادف انتخاب شود و سپس، بدون برگرداندن آن به کیسه گوی دیگری انتخاب شود، احتمال این‌که هر دو گوی قرمز باشند، برابر است با ۶/۱=۷۲/۱۲=۸/۳×۹/۴ = (قرمز) p. این امر را با نمودار درختی[۸] نیز می‌توان نمایش داد. نظریۀ احتمال[۹] را بلز پاسکال[۱۰] و پیِر دو فرما[۱۱]، ریاضی‌دانان فرانسوی قرن ۱۷، بنیاد نهادند و انگیزۀ اولیۀ آن‌ها پاسخ‌دادن به تقاضاهایی دربارۀ محاسبۀ احتمال‌های گوناگون در بازی ورق بود. امروز نظریۀ احتمال کاربردهای مهمی در زمینه‌های متفاوت، ازجمله ریاضیاتِ نظریۀ اتمی[۱۲]، بیمه[۱۳]، و مطالعات آماری[۱۴] دارد.