هندسه

هِندسه (geometry)

انواع حجم‌هاي سه‌بعدي

انواع حجم‌هاي سه‌بعدي

شاخه‌ای از ریاضیات، برای بررسی ویژگی‌های شکل‌های مسطح (واقع در صفحۀ دوبعدی) یا فضایی (واقع در فضای سه‌بعدی). این موضوع را به دو نوع اصلی تقسیم‌ می‌کنند: هندسۀ‌ محض که نوع سنتی هندسه و تقریباً شامل هندسۀ مسطحه و فضایی مورد بحث در کتاب اصول اقلیدس، ریاضی‌دان یونانی، است (← اقلیدس)، و هندسۀ تحلیلی یا هندسۀ مختصاتی که در آن مسئله‌ها را با روش‌های جبری حل می‌کنند. نوع سوم، که نوع کاملاً متفاوتی از هندسه است، شامل هندسه‌های نااقلیدسی است که با کنارگذاشتن اصل موضوع پنجم اقلیدس، اصل موضوع توازی، شکل گرفته‌اند. ازجمله هندسه‌های مهم و مفید جدید هندسۀ دیفرانسیلي است که با روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال به مطالعۀ منحنی‌ها و سطح‌ها می‌پردازد.

هندسۀ محض. عمدتاً با ویژگی‌های قابل اندازه‌گیری اشکال سروکار دارد، ازجمله طول، مساحت و زاویه. بنابراین، از لحاظ عملی اهمیت زیادی دارد. انطباق‌پذیری یا هم‌نهشتی مفهوم مهمی در هندسۀ اقلیدسی است. دو شکل را ‌انطباق‌پذیر می‌گویند، اگر همانند، هم‌اندازه، و هم مساحت باشند. اگر یکی از دو شکل را به‌صورت شیء صلبی در نظر بگیریم که بتوان آن‎ را برداشت، حرکت‌ داد، و روی شکل دیگر قرار داد؛ آن‌گاه اگر دقیقاً بر هم منطبق شوند، آن دو شکل انطباق‌پذیرند. چند قاعدۀ ساده دربارۀ انطباق‌پذیری: (۱) دو پاره‌خط انطباق‌پذیرند، اگر طول آن‌ها برابر باشد؛ (۲) دو مثلث ‌انطباق‌پذیرند، اگر یکی از حالت‌های زیر برقرار باشد: (الف) اضلاع دو مثلث دوبه‌دو برابر باشند، (ب) دو ضلع و زاویۀ بین آن‌ها از یک مثلث با دو ضلع و زاویۀ بین آن‌ها از مثلث دیگر برابر باشند، و (ج) دو زاویه و ضلع بین آن‌ها از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین آن‌ها از مثلث دیگر برابر باشند. (۳) دو چندضلعی انطباق‌پذیرند، اگر بتوان آن‌ها را به مثلث‌هایی تجزیه ‌کرد، به‌طوری که هر مثلث از یکی بر مثلث متناظر از دیگری انطباق‌پذیر‌ باشد. مفهوم جابه‌جایی یک شیء صلب را برای آزمودن انطباق‌پذیری آن با شیء دیگر می‌توان دقیق‌تر و برحسب حرکت‌ها یا تبدیل‌های مقدماتی شکل‌ها بیان‌ کرد: (۱) انتقال که در آن، همۀ نقاط یک فاصله را در یک ‌جهت روی خط‌های متوازی طی می‌کنند؛ (۲) دوران با یک زاویۀ معیّن حول یک نقطۀ ثابت؛ (۳) تقارن یا قرینه‌یابی که مستلزم «پشت‌وروکردن» شکل است، یعنی حرکتی که شامل خروج از صفحه می‌شود. حال دو شکل انطباق‌پذیر با یکدیگرند، اگر یکی از آن‌ها را بتوان با رشته‌ای از این حرکت‌های مقدماتی به دیگری تبدیل کرد. در هندسۀ اقلیدسی، نوع چهارم حرکت را هم بررسی می‌کنند که عبارت ‌است از تجانس، یعنی بزرگ‌ یا کوچک‌‌کردن شکل در همۀ جهات با ضریبی یکسان. اگر شکلی را بتوان با ترکیبی از انتقال، دوران، تقارن، و تجانس به شکل دیگری تبدیل کرد، آن دو شکل متشابه‌اند. همۀ دایره‌ها و همۀ مربع‌ها متشابه‌اند. دو مثلث متشابه‌اند، اگر هر زاویه از یکی با زاویه‌ای از دیگری برابر باشد.

هندسۀ تحلیلی یا هندسۀ مختصاتی. دستگاهی هندسی است که در آن خط‌های راست، منحنی‌ها، سطح‌ها (رویه‌ها) و کلاً شکل‌های هندسی با عبارات جبری ‌نشان داده می‌شوند. در هندسۀ تحلیلی مسطحه) دوبعدی (صفحه را معمولاً با دو محور عمود برهم تعریف می‌کنند: یکی محور افقی x و دیگری محور قائم y که یکدیگر را در مبدأ O قطع می‌کنند. هر نقطۀ واقع بر این صفحه را می‌توان با یک‌جفت مختصات دکارتی نمایش‌داد که مکان نقطه را بر حسب فاصله‌اش از محورهای y و x مشخص می‌کند. این فاصله‌ها به‌ ترتیب مختصات x و yنقطه‌اند. در این‌جا، خط‌ها و منحنی‌ها را با معادله‌هایشان نمایش می‌دهند. مثلاً y = ۲x + ۱ معادلۀ یک خط‌ راست و y = ۳x^۲ + ۲x معادلۀ یک سهمی است. برای ترسیم نمودار معادله، نقاطی را که مختصاتشان در معادله صادق‌اند مشخص، و آن‌ها را به ‌هم وصل می‌کنند. یکی از مزایای هندسۀ تحلیلی این ‌است که راه‌ حل مسئلۀ هندسی بدون ترسیم و با عملیاتی روی عبارت‌های جبری به‌دست می‌آید. مثلاً، مختصات نقطۀ تقاطع دو خط‌ راست را می‌توان با یافتن مقادیر یکتای x وyای که در معادلۀ هر دو خط صدق‌ کنند، یعنی با حل دستگاه معادلات متشکل از آن دو، به‌دست آورد. منحنی‌هایی که در هندسۀ تحلیلی مقدماتی مطالعه می‌شوند عبارت‌اند از مقاطع مخروطی، شامل دایره، بیضی، سهمی، و هذلولی. هر یک از این مقاطع معادلۀ‌ مشخصۀ خاصی دارد. هندسه احتمالاً در مصر باستان پدید آمد و نخست برای اندازه‌گیری زمین‌هایی به‌کار می‌رفت که به‌سبب طغیان‌های متناوب رودخانۀ نیل تغییر می‌کردند. سپس، کاربرد آن به مساحی ‌و دریانوردی هم تسری یافت. نخستین ریاضی‌دانانی که آثاری از آن‌ها به‌جای‌مانده است عبارت‌اند از ریاضی‌دانان یونانی، طالس، فیثاغورس، و اقلیدس. هندسۀ تحلیلی را فیلسوف فرانسوی، رنه‌ دکارت، در قرن ۱۷ ابداع ‌کرد. در قرن ۱۹، کارل فریدریش گاوس، یانوش بویویی، نیکُلای لُباچفسکی، و برنهارد ریمان چندین هندسۀ نااقلیدسی عرضه کردند که مبتنی ‌بر نفی اصل موضوع توازی اقلیدس‌اند. این اصل معادل با این گزاره است که از نقطه‌ای خارج یک خط، فقط یک خط می‌توان به ‌موازات آن رسم ‌کرد. از آن‌جا که این اصل مانند سایر اصول موضوع هندسۀ اقلیدسی بدیهی به‌نظر نمی‌رسید، محل مناقشات فراوان بود و طی قرن‌ها، ریاضی‌دانان بسیاری در شرق و غرب بیهوده کوشیدند آن را اثبات و به‌صورت قضیه از اصول موضوع دیگر استنتاج کنند. در قرن ۱۹، مشخص شد می‌توان هندسه‌های دیگری ساخت که به این اصل وابسته نباشند .این هندسه‌ها بعدها در نظریۀ نسبیت کاربرد یافت.  

 

---